HDU 4372 Count the Buildings

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Description

有一条有\(n\)栋建筑物的大街，每栋建筑物高度两两不同且都是\([1, n]\)中的正整数。

我们知道从最左侧向右看，能看到\(x\)栋大楼，反过来能看到\(y\)座大楼，求可能的高度方案数。

\(T\)组询问，\(T\leq 10^5, 0<n,x,y\leq 2000\)。

Solution

我们不妨将街道从最高那栋楼（即高为\(n\)的楼）拆开，左右两边分别考虑。

我们不妨将一个点往右延伸直到出现到大于它的点的时候的区间称为一个块，那么我们发现\(n\)左侧有\(x - 1\)个块，反过来看的话\(n\)右侧有\(y - 1\)个块，各个块的最大值在块的最左侧。因此一旦我们确定了一个大小为\(s\)的块的高度组成，那么块的方案数就是\((s - 1)!\)，注意到这个东西就是\(s\)个点的环的数量，因此给两边分块的方案数就等价于将\(n - 1\)分成\(x + y - 2\)个圆排列，换言之方案数就是\(\begin{bmatrix}n - 1\\ x+ y - 2\end{bmatrix}\)。

然后还有一点就是这若干个块一定有\(x - 1\)个分布在左边，剩下的分布在右边，并且分布一定是按照块里最大的元素单调排列的，因此方案数还要乘上\(\binom{x + y - 2}{x - 1}\)。

Code

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <utility>
typedef long long ll;
const ll ha = 1000000007LL;
ll C[2005][2005], s[2005][2005];
void process() {
  int n = 2004;
  C[0][0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    C[i][0] = C[i][i] = 1;
    for(int j = 1; j < i; j ++) {
      C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % ha;
    }
  }
  s[0][0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    s[i][0] = 0; s[i][i] = 1;
    for(int j = 1; j < i; j ++) {
      s[i][j] = (s[i - 1][j - 1] + (ll(i - 1)) * s[i - 1][j] % ha) % ha;
    }
  }
}

int main() {
  process();
  int T; scanf("%d", &T);
  while(T --) {
    int n, x, y; scanf("%d%d%d", &n, &x, &y);
    if(x + y - 1 > n) {
      puts("0");
    } else {
      ll ret = s[n - 1][x + y - 2];
      ret = ret * C[x + y - 2][x - 1] % ha;
      printf("%lld\n", ret);
    }
  }
  return 0;
}