LA 6932 Vocabulary

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Description

有三个字符串\(A,B,C\)，他们都由小写字母和问号组成，其中问号可以代表任意小写字母。

已知在字典序上有\(A<B<C\)（这里的小于是严格小于），求有多少种问号填充能满足条件。

多组数据，\(1\leq |A|,|B|,|C|\leq 10^6\)。

Solution

先考虑一个朴素的DP……\(d_{i, 0/1, 0/1}\)表示考虑前\(i\)位的话目前\(A\)是等于/小于\(B\)，\(B\)是等于/小于\(C\)的方案数。转移的话考虑刷表，枚举三个串下一位都是啥，转移就行了。但是这个东西复杂度是\(26^3n\)的……会炸掉，考虑优化。

转移很麻烦，我们考虑来预处理那个转移……\(f_{i, j, k, 0/1/2, 0/1/2}\)表示三个字符\(i, j, k\)（可能有\(\text{?}\)或者\(\epsilon\)），要求\(i\)和\(j\)的关系是小于/等于/大于，\(j\)和\(k\)的关系是小于/等于/大于的方案数，这个东西随便暴力一下就能高效的预处理出来。这样转移就很快力，，，

Code

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <utility>
using ll = long long;
const ll ha = 1000000009;
template<typename T>
int cmp(T a, T b) {
  if(a < b) {
    return 0;
  } else if(a == b) {
    return 1;
  } else {
    return 2;
  }
}

int f[28][28][28][4][4];
void process() {
  for(int i = 0; i <= 27; i ++) {
    for(int j = 0; j <= 27; j ++) {
      for(int k = 0; k <= 27; k ++) {
        int l1 = i, r1 = i;
        if(i == 27) l1 = 1, r1 = 26;
        for(int a = l1; a <= r1; a ++) {
          int l2 = j, r2 = j;
          if(j == 27) l2 = 1, r2 = 26;
          for(int b = l2; b <= r2; b ++) {
            int l3 = k, r3 = k;
            if(k == 27) l3 = 1, r3 = 26;
            for(int c = l3; c <= r3; c ++) {
              f[i][j][k][cmp(a, b)][cmp(b, c)] ++;
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  for(int i = 0; i <= 27; i ++) {
    for(int j = 0; j <= 27; j ++) {
      for(int k = 0; k <= 27; k ++) {
        for(int a = 0; a < 3; a ++) {
          for(int b = 0; b < 3; b ++) {
            f[i][j][k][a][3] = (f[i][j][k][a][3] + f[i][j][k][a][b]) % ha;
            f[i][j][k][3][b] = (f[i][j][k][3][b] + f[i][j][k][a][b]) % ha;
            f[i][j][k][3][3] = (f[i][j][k][3][3] + f[i][j][k][a][b]) % ha;
          }
        }
      }
    }
  }
}

int idx(char c) {
  if(c == '?') {
    return 27;
  } else if((int)c == 0) {
    return 0;
  } else {
    return c - 'a' + 1;
  }
}

const int maxn = 1000005;
char S1[maxn], S2[maxn], S3[maxn];
ll d[maxn][2][2];
int main() {
  process();
  int T; scanf("%d", &T);
  while(T --) {
    memset(S1, 0, sizeof(S1));
    memset(S2, 0, sizeof(S2));
    memset(S3, 0, sizeof(S3));
    scanf("%s%s%s", S1 + 1, S2 + 1, S3 + 1);
    int n1 = strlen(S1 + 1), n2 = strlen(S2 + 1), n3 = strlen(S3 + 1);
    d[0][0][0] = 1;
    int n = std::max(n1, std::max(n2, n3));
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
      memset(d[i + 1], 0, sizeof(d[i + 1]));
      int a = idx(S1[i + 1]), b = idx(S2[i + 1]), c = idx(S3[i + 1]);
      d[i + 1][1][1] += d[i][1][1] * (ll)f[a][b][c][3][3] % ha;
      if(d[i + 1][1][1] >= ha) d[i + 1][1][1] -= ha;
      d[i + 1][0][1] += d[i][0][1] * (ll)f[a][b][c][1][3] % ha;
      if(d[i + 1][0][1] >= ha) d[i + 1][0][1] -= ha;
      d[i + 1][1][1] += d[i][0][1] * (ll)f[a][b][c][0][3] % ha;
      if(d[i + 1][1][1] >= ha) d[i + 1][1][1] -= ha;
      d[i + 1][1][0] += d[i][1][0] * (ll)f[a][b][c][3][1] % ha;
      if(d[i + 1][1][0] >= ha) d[i + 1][1][0] -= ha;
      d[i + 1][1][1] += d[i][1][0] * (ll)f[a][b][c][3][0] % ha;
      if(d[i + 1][1][1] >= ha) d[i + 1][1][1] -= ha;
      for(int j = 0; j < 2; j ++) {
        for(int k = 0; k < 2; k ++) {
          d[i + 1][1 - j][1 - k] += d[i][0][0] * (ll)f[a][b][c][j][k] % ha;
          if(d[i + 1][1 - j][1 - k] >= ha) d[i + 1][1 - j][1 - k] -= ha;
        }
      }
    }
    printf("%lld\n", d[n][1][1]);
  }
  return 0;
}