AGC001E BBQ Hard

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Description

你有\(n\)个串，第\(i\)个串上有\(A_i\)块肉和\(B_i\)块菜。现在选出两个串，将他们中的肉和菜放在一起重新排列，求总方案数。

\(2\leq n\leq 200000, 1\leq A_i,B_i\leq 2000\)。

Solution

很显然对于两个串\(i, j\)，对答案的贡献是： \[ \binom{A_i + B_i + A_j + B_j}{A_i + A_j} \] 这个东西有什么组合意义吗？答案是有的。就是在一个平面上从原点走到\((A_i + A_j, B_i + B_j)\)，每次只向上或者向右走一格的方案数，然后我们把整个坐标系平移一下就可以把这个东西变成从\((-A_i, -B_i)\)走到\((A_j, B_j)\)。

然后我们建出所有的点，就是要我们求所有正点走到所有负点的方案数之和。这个东西很好DP，我们先把横纵坐标都加2000，然后根据到\((0, 0)\)的曼哈顿距离从小到大递推即可。

Code

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <utility>
using pii = std::pair<int, int>;
const int ha = 1000000007;
using ll = long long;
ll pow_mod(ll a, ll b) {
  ll ans = 1, res = a;
  while(b) {
    if(1LL & b) ans = ans * res % (ll)ha;
    res = res * res % (ll)ha; b >>= 1;
  }
  return ans;
}
ll inv(ll x) {
  return pow_mod(x, ha - 2);
}

ll fac[10005], ifac[10005];
void process() {
  int n = 10000;
  fac[0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    fac[i] = (fac[i - 1] * (ll(i))) % (ll)ha;
  }
  ifac[n] = inv(fac[n]);
  for(int i = n - 1; i >= 0; i --) {
    ifac[i] = ifac[i + 1] * (ll(i + 1)) % (ll)ha;
  }
}
ll C(int x, int y) {
  ll ret = fac[x];
  ret = ret * ifac[x - y] % (ll)ha;
  ret = ret * ifac[y] % (ll)ha;
  return ret;
}

pii P[200005]; int d[4005][4005];
int n;
int dp() {
#ifdef LOCAL
  puts("11111");
  fflush(stdout);
#endif
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    int x = P[i].first, y = P[i].second;
    d[2000 - x][2000 - y] ++;
  }
  for(int dis = 1; dis <= 8000; dis ++) {
    for(int i = std::max(0, dis - 4000); i <= std::min(4000, dis); i ++) {
      int j = dis - i;
      if(i > 0) d[i][j] = (d[i][j] + d[i - 1][j]) % ha;
      if(j > 0) d[i][j] = (d[i][j] + d[i][j - 1]) % ha;
    }
  }
#ifdef LOCAL
  puts("Gou!"); fflush(stdout);
#endif
  int ans = 0;
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    int x = P[i].first, y = P[i].second;
    ans = (ans + d[x + 2000][y + 2000]) % ha;
    ans = (ans - C(2 * x + 2 * y, 2 * x) + ha) % ha;
  }
  static const ll inv_2 = 500000004;
  ans = (((ll(ans)) * inv_2) % (ll)ha);
  return ans;
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    scanf("%d%d", &P[i].first, &P[i].second);
  }
  process();
  printf("%d\n", dp());
  return 0;
}